Путешествие по Карликании и Аль-Джебре - страница 68

Один практикант строил стену из кирпичей. Положит несколько рядов, рассыплет и опять начнёт. Мы слышали, как он сам с собой разговаривал:

— Так и через десять лет не построишь! Ну и задачка!

— Что это вы делаете? — спросила Таня.

— Стену строю, — вздохнул тот, — да вот ничего не получается.

— Наверное, потому, что вы не кладёте цемента, — догадался Сева.

— Нет, цемент тут ни при чём.

Он протянул нам листок, где была такая задача: «Построить стену высотой в пять кирпичей так, чтобы в каждом следующем ряду было на два кирпича меньше, чем в предыдущем. При этом надо использовать 145 кирпичей».

— Разве это так трудно? — удивились мы.

— Ещё бы! Ведь здесь не сказано, сколько кирпичей надо уложить в первом ряду. А без этого у меня ничего не получается. Положил 30 кирпичей. Тогда во втором надо уложить 28, в третьем — 26, в четвёртом — 24, в пятом — 22. А 15 кирпичей остаётся! Попробовал положить в первый ряд 35 кирпичей, во второй — 33 и так далее. На пятый ряд кирпичей уже не хватило.

— Дайте-ка мне попробовать! — попросил Сева.

Он положил в первый ряд 34 кирпича, во второй — 32… Дошёл до пятого, — опять не хватило!

— Не угадаешь!

— А тут гадать не надо, — сказал кто-то.

Это к нам подошёл Составитель уравнений Тэ. Мы познакомились.

— Чем гадать, — продолжал он, — лучше составить уравнение. Обозначим неизвестное число кирпичей в первом ряду буквой икс. Сколько же в таком случае их будет во втором ряду, если там должно быть на два кирпича меньше, чем в первом?

— Конечно, х−2, - сообразила Таня.

— Правильно. Тогда в следующем ряду будет х-4, затем х-6 и, наконец, в последнем, пятом, ряду х-8 кирпичей. Сколько же всего пойдёт кирпичей на строительство?

— Сумма всех этих чисел, — подсказал Сева, -

...

х + (х − 2) + (х − 4) + (х − 6) + (х − 8).

— Верно. А так как всё это вместе по условию равно ста сорока пяти, получим уравнение:

...

x + х − 2 + х − 4 + x − 6 +x − 8 = 145.

— Ну, теперь уж просто, — отмахнулся Сева, — Остаётся сказать: «Аль-джебр! Аль-мукабала!» Одна минута, и бульон готов!

— Нет, — возразил Составитель, — не готов! Вы забыли привести подобные члены в левой части уравнения.

Привели подобные. Получилось:

...

5х − 20 = 145.

— Вот теперь и в самом деле можно приступить к восстановлению.

Перенесли число минус 20 в правую сторону с обратным знаком.

Вышло, что 5х=165, а х=33.

Я забыл тебе сказать, что составляли и решали уравнение мы не на бумаге: нам помогали живые буквы и цифры. А как только уравнение было решено, расколдованный Икс помахал нам своей маской и убежал. Мы стали проверять ответ и построили стену. И всё оказалось правильно:

...

33+31+29+27+25=145.

Потом мы увидели того самого карликана, который собирался рыть котлован для фундамента. Он стоял возле одного Составителя, и они решали его задачу. Мы подошли и стали помогать. Это уравнение оказалось посложней первого.

— Итак, — сказал Составитель, — у вас три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй — за три, третий — за двенадцать. Неважный, наверное, экскаватор. Вы хотите, чтобы все три работали одновременно. Конечно, так они выроют котлован быстрее. Но за какое время? Составим уравнение. Что примем за икс?

— Время, за которое все три экскаватора выроют весь котлован, — предложил я.

— Верно. Давайте дальше.

Тут я, как назло, запнулся. Ни туда ни сюда.

— Ладно уж, — сказал Составитель, — придётся помочь. Выясним, какую часть котлована выроет каждый экскаватор за один час. Для этого условимся, что объём всего котлована равен единице.

— И что из этого следует? — спросил Сева.

— А из этого следует, — догадался я, — что первый экскаватор за час выроет одну четверть котлована, второй — одну треть, третий — одну двенадцатую.

— Ну конечно! — обрадовался Составитель. — Какую же часть они выроют за час, если будут работать все вместе?

На этот раз ответил Сева:

— Вот какую:

...

/+/+/

— Молодец! А за икс часов?

— А за икс часов они выроют в икс раз больше, — сказала Таня. — Это и будет весь котлован, объём которого мы приняли за единицу.

Так у нас получилось уравнение:

...

x(/+/+/)=1

Ну а решить такое уравнение было уже совсем легко:

...

/x = 1

Значит, Икс равен двенадцати восьмым, или

...

х = /

Выходит, что три экскаватора, работая вместе, выроют котлован за полтора часа.

Неловко об этом говорить, но мне было очень приятно, когда маска с Икса упала и он стал нас благодарить.

Карликан заторопился к своим экскаваторам, а Составитель тут же предложил решить ещё одну задачу, точно такую же, но… Что это за «но», ты сейчас поймёшь.

— Признаться, надоели мне такие уравнения, — сказал Составитель, — слишком часто приходится их составлять. Везде идут стройки, везде роют котлованы. Пора бы уж сразу найти один ответ на все подобные вопросы. Ведь мы как-никак живём в Аль-Джебре…

— И потому должны упрощать и обобщать, — докончил Сева.