Большое космическое путешествие - страница 115
Решение, найденное Карлом Шварцшильдом в 1916 году, показало, какова форма этой воронки. Но изобретенная Шварцшильдом хитроумная система координат отказывала на радиусе Шварцшильда. Решение демонстрировало, что происходит извне дыры, но не показывало, что же происходит внутри. Ситуация была такова, как будто у нас есть только карта Северного полушария, а ничего к югу от экватора не видно. Считалось, что у черной дыры есть только внешняя сторона. Наконец, в середине 1960-х годов мой коллега Мартин Крускал с факультета прикладной математики Принстонского университета и Дьёрдь Секереш из Университета Нового Южного Уэльса независимо нашли способ расширить эту координатную систему таким образом, чтобы решение описывало и внутреннюю часть черной дыры. Пространственно-временная схема такого решения ныне называется «диаграмма Крускала» (рис. 20.2).
На этой пространственно-временной схеме по горизонтали показано одно пространственное измерение, а по вертикали – время. Будущее находится в верхней части диаграммы. Диаграмма такова, что свет на ней летит по прямым, расположенным под углом 45°. Скорость света постоянна, именно поэтому уклон 45° не изменяется. Давайте проиллюстрируем смысл этих координат, вернувшись к примеру с профессором и его несчастным аспирантом. Для начала проведем черную мировую линию профессора (см. рисунок). Она не прямая, поскольку профессор движется с ускорением: двигатели ракеты постоянно работают, чтобы корабль удерживался на расстоянии 1,25 радиуса Шварцшильда от черной дыры.
Рис. 20.2. Диаграмма Крускала. Это пространственно-временная схема, демонстрирующая геометрию (невращающейся) черной дыры как в пределах радиуса Шварцшильда, так и вне его. Будущее показано сверху. На схеме изображено искривленное пустое пространство вокруг точечной массы, существовавшей вечно. Наша Вселенная справа. Показаны мировые линии профессора и аспиранта. Профессор остается на безопасном расстоянии от черной дыры (1,25 r). Аспирант падает в черную дыру и достигает сингулярности в точке r = 0. Горизонт событий (ГС) проходит вдоль линии, где радиус r равен радиусу Шварцшильда (r = r). Рисунок предоставлен Дж. Ричардом Готтом
Профессор остается за пределами черной дыры. В точке на полпути от верхнего к нижнего краю рисунка мировая линия вертикальна, затем изгибается вправо. В плоском пространстве-времени такая мировая линия могла бы описывать частицу, которая находилась в покое, будучи в центре рисунка, а потом стала двигаться вправо, набирая скорость. Полная мировая линия профессора – это гипербола. Она изгибается, так что в далеком будущем пойдет вверх под углом около 45°, по мере того, как будет стремиться к скорости света. Вспомните принцип эквивалентности: наблюдатель, движущийся с ускорением в плоском пространстве-времени, наблюдает его таким же, каким видит это пространство-время неподвижный наблюдатель (профессор), находящийся в гравитационном поле. Мировая линия профессора на диаграмме Крускала – это гипербола.
Горизонтальная линия, идущая вправо от центральной точки на оси X, где две линии пересекаются под углом 45°, – это мгновенный снимок радиального луча, который поднимается из отверстия на дне воронки прямо вверх в конкретный момент времени (другое измерение воронки, окружное, на диаграмме не показано).
Мировая линия аспиранта (обозначенная ЛА) – зеленая. На первых порах, в нижней части диаграммы, аспирант летит вместе с профессором, и их мировые линии также продолжаются бок о бок, пока аспирант не покидает профессора в центральной (по вертикали) точке мировой линии профессора. Аспирант находится в свободном падении: его мировая линия устремляется в черную дыру, а мировая линия профессора продолжается вправо. Горизонт событий (обозначенный «ГС», там же r = r – это радиус, равный радиусу Шварцшильда) – это линия, идущая под углом 45°, которая в далеком будущем располагается асимптотически к мировой линии профессора. Она никогда не соприкоснется с мировой линией профессора. Уклон в 45° возникает потому, что луч света (в данном случае – радиоволна) с сигналом «СОВСЕМ» может идти вдоль такой линии. Мировая линия аспиранта пересекает диагональную линию горизонта событий именно в тот момент, когда аспирант посылает сигнал «СОВСЕМ». Профессор так и не получит этот сигнал. Мировая линия профессора на диаграмме соответствует множеству точек, для каждой из которых r = 1,25 радиуса Шварцшильда. Световые (радио) сигналы «ДЕЛА» и «ИДУТ» – это две линии, идущие под углом 45° каждая; сигналы были отправлены еще до того, как аспирант пересек горизонт событий. Два этих сигнала пересекаются с мировой линией профессора. Он получит эти сигналы. Из диаграммы понятно, почему сигнал «ИДУТ» будет лететь до профессора так долго.
Где точки, расположенные на уровне 0,75 радиуса Шварцшильда? Они выстраиваются вдоль гиперболы, напоминающей улыбку, над диагональной линией горизонта событий. Далеко справа она сверху стремится к линии горизонта событий ГС, но так и не соприкасается с ней. Сингулярность в точке r = 0 – еще одна гипербола, напоминающая улыбку, лежащая над линией 0,75 радиуса Шварцшильда. Мировая линия аспиранта стыкуется с этой горизонтальной улыбкой. Мы нарисовали на ней зубы, так что получился оскал челюстей, готовых сожрать аспиранта. Пространство-время настолько искривлено, что сингулярность, которая, как могло бы показаться, должна обозначаться вертикальной линией слева, искривлена, пока не уходит в будущее. На самом деле, стоит аспиранту пересечь горизонт событий – и эта линия оказывается у него в будущем. Теперь она для него так же неизбежна, как наступление следующей среды. Как бы ни пытался он разогнать ракету быстрее скорости света, это невозможно, и аспирант вынужден двигаться вверх под углом 45°. После того как аспирант минует горизонт событий, гипербола, соответствующая сингулярности, нависнет над ним и будет простираться более чем на ±45°, так что его мировая линия неизбежно в нее упрется. Он обречен. Аналогично, сигнал «ПЛОХО», отправленный аспирантом вправо под углом 45° уже после пересечения горизонта событий, также попадет в челюсти сингулярности в точке r = 0.
